Odile POURTALLIER and Mabel TIDBALL N ̊ 2942 July 1996

We consider the approximation of a class of diierential games with target by stochastic games. We use Kruzkov transformation to obtain discounted costs. The approximation is based on a space discretization of the state space and leads to consider the value function of the diierential game as the limit of the value function of a sequence of stochastic games. To prove the convergence, we use the notion of viscosity solution for partial diierential equations. This allows us to make assumptions only on the continuity of the value function and not on its diierentiability. This technique of proof has been used before by M. Bardi, M. Falcone and P. Soravia for another kind of discretization. Under the additional hypothesis that the value function is Lipschitz continuous, we prove that the rate of convergence of this scheme is of order p h where h is the space parameter of discretization. Some numerical experiments are presented in order to test the algorithm for a problem with discontinuous solution. Approximation de la fonction valeur pour une classe de jeux diiirentiels avec cible RRsumm : On considdre l'approximation d'une classe de jeux diiirentiels avec cible par des jeux stochastiques. On utilise la transformation de Kruzkov pour obtenir des coots avec taux d'actualisation. Le schhma d'approximation utiliss est bass sur la discrrtisation de l'espace d''tat et revient considdrer la fonction Valeur du jeu diiirentiel comme la limite des fonctions Valeur d'une suite de jeux stochastiques. Pour prouver la convergence du schhma, on utilise la notion de solution de viscositt pour les quations aux derives partielles du premier ordre. Cela nous permet de restreindre les hypothhses sur la fonction Valeur la continuitt, sans se prroccuper de sa diiirentialitt. Les techniques de preuve ont tt ddjj utilisses par M. Bardi, M. Falcone et P. Soravia pour un autre schhma de discrrtisation. Sous l'hypothhse additionnelle de Lipschitzianitt de la fonction Valeur, on prouve que la vitesse de convergence du shhma tudii est de l'ordre de p h oo h est le parammtre de discrrtisation de l'espace. On prrsente quelques expriences nummriques pour tester l'algorithme dans un cas oo la fonction valeur est non continue.